Model atòmic de Bohr. Àtom monoelectrònic. Càlcul de radi i la velocitat de l'electró. Càlcul de l'energia dels nivells.

Ingredients:

Càrrega de l'electró (valor absolut):

`e`

Massa de l'electró:

`m`

Càrrega nucli (valor absolut):

`Q=Z·e`

Segona llei de Newton:

`F=m·a`

Llei de Coulomb:

`F=K·(Q·q)/d^2`

`K=1/(4 pi epsilon)`

`F=1/(4 pi epsilon)·(Q·q)/d^2`

Acceleració centrípeta:

`a_c=v^2/r`

Moment angular quantificat:

`L=m·v·r=n·ℏ`

`v=(n·ℏ)/(m·r)`

Equacions:

`f=m·a`

`1/(4piepsilon)·(Q·q)/r^2=m·a_c`

`1/(4piepsilon)·(Q·q)/r^2=m·v^2/r`

`1/(4piepsilon)·(Z·e·e)/r^2=m·v^2/r`

`1/(4piepsilon)·(Z·e^2)/r^2=m·v^2/r` d'aquí `(1/(4piepsilon)·(Z·e^2)/r=m·v^2)`

`Z·e^2 = 4 pi epsilon · m·v^2·r`

`Z·e^2 = 4 pi epsilon · m·((n·ℏ)/(m·r))^2·r = 4 pi epsilon · (n^2·ℏ^2)/(m·r)`

`r = 4 pi epsilon · (n^2·ℏ^2)/(m · Z · e^2)`

`1/r = 1/(4 pi epsilon) · (m · Z · e^2)/(n^2·ℏ^2)`

`v=(n·ℏ)/(m·r) = (n·ℏ)/m · 1/(4 pi epsilon) · (m · Z · e^2)/(n^2·ℏ^2)`

`v = 1/(4 pi epsilon) · (Z · e^2)/(n·ℏ)`

Radi de les órbites possibles en funció d'n:

`r = 4 pi epsilon · (n^2·ℏ)/(m·Z·e^2)`

Velocitat de les órbites possibles en funció d'n:

`v = 1/(4 pi epsilon) · (Z·e^2)/(n·ℏ)`

Energia (Energia cinètica + Energia Potencial):

`E=K+V`

`V=-\int_r ^\infty (Ze^2)/(4 pi epsilon r^2) dr = -(Ze^2)/(4 pi epsilon r)`

`K = 1/2 mv^2 = 1/2·1/(4 pi epsilon)· (Ze^2)/r = (Ze^2)/(8 pi epsilon r)`

`E = (Ze^2)/(8 pi epsilon r)-(Ze^2)/(4 pi epsilon r) = -(Ze^2)/(8 pi epsilon r)`

`E = -(Ze^2)/(8 pi epsilon r) = -(Ze^2)/(8 pi epsilon )·1/r = -(Ze^2)/(8 pi epsilon )·1/(4 pi epsilon) · (mZe^2)/(n^2 · ℏ^2) = - (mZ^2e^4)/((4 pi epsilon)^2 2ℏ^2) · 1/n^2`

`n=1,2,3,...`

---

Exemple: Càlcul del color (longitud d'ona) del primer nivell de l'espectre de la sèrie de Balmer. Del 3r al 2n.

`C = e^2/(4 pi epsilon ℏ) = e^2/(4 pi epsilon h/(2 pi)) = e^2/(2 epsilon h) =`

`(−1.602 176 565·10^(−19))^2/(2 · 8'8541878176 · 10^-12 · 6'62607015 · 10^-34) = 2.18769107 · 10^6\ m/s`

`E = - (mZ^2e^4)/((4 pi epsilon)^2 2ℏ^2) · 1/n^2 = - (m Z^2 C^2)/2·1/n^2`

En el cas de l'àtom d'Hidrògen `Z = 1`

`E = - (m·C^2)/2·1/n^2 = -(9.10938291×10^(−31) · (2.18769107 · 10^6)^2)/2·1/n^2 =`

`-2.17987178 · 10^-18 · 1/n^2\ J`

Per trobar les diferències d'energies entre nivells:

`-2.17987178 · 10^-18 · (1/n_1^2-1/n_2^2)\ J`

On `n_1` és el nivell inicial de l'electró i `n_2` el nivell final.

Per exemple si `n_1 = 3` i `n_2 = 2`

`-2.17987178 · 10^-18 · (1/3^2-1/2^2) = 3.02759969·10^(-19)\ J`

Per saber a quina longitud d'ona és això fem servir:

`E = (hc)/lambda => lambda = (hc)/E`

`E = (6'62607015 · 10^(-34) · 299792458)/(3.02759969·10^(-19)) =`

`(1.986444586 · 10^(-25))/(3.02759969·10^(-19)) =6.56112452·10^(-7) = 656.11\ nm`

Qué és la 1a línia visible de la sèrie de Balmer de l'espectre de l'àtom d'Hidrògen que es troba al vermell.