Receptes de física

• Què és la física?


• Magnituds i unitats (Fonamentals i derivades)


• Mesures experimentals


• Física
• Càlcul de l'acceleració centrípeta d'un moviment circular uniforme


• Gravitació i astronomia
• Càlcul de la massa de la Terra
• Càlcul de la distància de la Terra a la Lluna
• Càlcul del radi de la òrbita geoestacionària
• Càlcul de la massa del Sol
• Velocitat d'escapament d'un astre


• Física Quàntica
• Model atòmic de Bohr. Àtom monoelectrònic. Càlcul de radi i la velocitat de l'electró. Càlcul de l'energia dels nivells
• Ecuació d'Schrödinger. Regla mnemotècnica per escriure-la.
• Equació d'Schrödinger. Independent del temps (si el potencial no depèn de t).
• Solució numèrica de l'equació d'Schröedinger independent del temps per a un potencial de pou quadrat.

Càlcul de la distància de la Terra a la Lluna

Ingredients:

Segona llei de Newton:

`F = m · a`

Llei de gravitació universal:

`F_G=G(M·m)/d^2`

Constant de la gravitació universal:

`G=6.67428·10^(-11)\ N·m^2/\text{kg}^2`

Massa de la Terra:

`M_T = 5.974 · 10^24\ kg`

Periode de rotació de la Lluna:

`T = 27.322\ dies = 27.322 · 86400 = 2360620\ segons`

Velocitat angular (de la Lluna respecte la Terra):

`omega = (2pi)/T = (2pi)/2360620 = 0.000002662 \ {radians}/{segon}`

Relació entre la velocitat lineal i la angular:

`v = omega · r`

Acceleració centrípeta:

`a_c = v^2/r = (omega^2 · r^2)/r = omega^2 · r`

Equacions:

`m_L·a_c = G(M_T·m_L)/r^2`

`a_c = G(M_T)/r^2`

`omega^2 · r = G(M_T)/r^2`

`r^3 = G(M_T)/omega^2`

`r = \root[3]{G(M_T)/omega^2}`

Càlculs:

`r = \root[3]{G(M_T)/omega^2} = \root[3]{6.67428·10^(-11)(5.974·10^24)/(0.000002662^2)} = 383193246\ metres`

El real (aprox.) = 384400 km.

Càlcul de la massa de la Terra

Ingredients:

Segona llei de Newton:

`F = m · a`

Llei de gravitació universal:

`F_G=G(M·m)/d^2`

Constant de la gravitació universal:

`G=6.67428·10^(-11)\ N·m^2/\text{kg}^2`

Acceleració de la gravetat:

`g = 9.8\ m/s^2`

Radi de la Terra:

`r_T = 400000000/(2 pi) = 6366197\ metres`

Equacions:

`G(M_T·m)/r^2 = m · g`

`GM_T/r^2 = g`

`M_T = (g·r^2)/G`

Càlculs:

`M_T = (9.8 · 6366197^2)/(6.67428·10^(-11)) = 5.9 · 10^24\ kg`

Càlcul de l'acceleració centrípeta d'un moviment circular uniforme

Ingredients:

Velocitat:

`v(t)=(d e(t))/(dt)`

Acceleració:

`a(t)=(d v(t))/(dt)`

Equació de moviment d'un moviment circular uniforme:

`e(t)=(r·cos(omega · t),\ r·sin(omega · t))`

Relació entre la velocitat lineal i la velocitat angular:

`v=omega · r`

`omega = v/r`

Equacions:

`e(t)=(r·cos(omega · t),\ r·sin(omega · t))`

`v(t)=(d e(t))/(dt) = (-r · omega·sin(omega · t),\ r · omega·cos(omega · t))`

`a(t)=(d v(t))/(dt) = (-r · omega^2·cos(omega · t),\ -r · omega^2·sin(omega · t))`

`a(t)= -r · omega^2·(cos(omega · t),\ sin(omega · t))`

`|a(t)| = r · omega^2`

`|a(t)| = r · (v/r)^2`

`a_c = v^2/r`

Magnitud i unitats (Fonamentals i derivades)

• Fonamentals...


• Massa, k (kilogram)


• Longitud (espai), m (metre)


• Temps, s (segon)


• Càrrega electrica, C (Coulomb)



• Derivades...


• Velocitat, `{espai}/{temps}\,  m/s`


• Acceleració, `{velocitat}/{temps}\,  m/s^2`


• Quantitat de moviment, `\text{massa · velocitat}\,  k · m/s`


• Força, `\text{massa · acceleració}\,  k · m/s^2 = N \text{(Newtons)}`


• Treball (Energia), `\text{Força · espai}\,  N · m = k · m^2/s^2 = J \text{(Jouls)}`

Mesures experimentals

Radi de la Terra:

`r_t = 40000000/(2 pi)=6366197\ metres`

Periode de rotació de la Terra:

`T = 1\ dia = 24 · 60 · 60 = 86400\ segons`

Periode de rotació de la Lluna:

`T = 27'322\ dies = 27'322 · 86400 = 3360620\ segons`

Acceleració de la gravetat:

`g = 9'8\ m/s^2`

Constant de gravitació universal:

`G = 6'67428·10^(-11)\ (N·m^2)/(kg^2)`

Constant solar:

`K = 1366\ W/m^2`

Constant de Planck:

`h = 6'62607015 · 10^(-34)\ J·s`

Velocitat de la llum:

`c = 299792458\ m/s`

Constant de Coulomb:

`K = 8.9874 · 10^9\ (N·m^2)/C^2`

Permitivitat en el vuit:

`K = 1/(4 pi epsilon)`

`epsilon = 8'8541878176 · 10^-12\ F/m |\ F = (s^2·C^2)/(m^2·kg)`

Càrrega de l'electró:

`e = −1.602 176 565·10^(−19)\ C`

Massa de l'electró:

`m_e = 9.10938291×10^(−31)\ kg`

Model atòmic de Bohr. Àtom monoelectrònic. Càlcul de radi i la velocitat de l'electró. Càlcul de l'energia dels nivells.

Ingredients:

Càrrega de l'electró (valor absolut):

`e`

Massa de l'electró:

`m`

Càrrega nucli (valor absolut):

`Q=Z·e`

Segona llei de Newton:

`F=m·a`

Llei de Coulomb:

`F=K·(Q·q)/d^2`

`K=1/(4 pi epsilon)`

`F=1/(4 pi epsilon)·(Q·q)/d^2`

Acceleració centrípeta:

`a_c=v^2/r`

Moment angular quantificat:

`L=m·v·r=n·ℏ`

`v=(n·ℏ)/(m·r)`

Equacions:

`f=m·a`

`1/(4piepsilon)·(Q·q)/r^2=m·a_c`

`1/(4piepsilon)·(Q·q)/r^2=m·v^2/r`

`1/(4piepsilon)·(Z·e·e)/r^2=m·v^2/r`

`1/(4piepsilon)·(Z·e^2)/r^2=m·v^2/r` d'aquí `(1/(4piepsilon)·(Z·e^2)/r=m·v^2)`

`Z·e^2 = 4 pi epsilon · m·v^2·r`

`Z·e^2 = 4 pi epsilon · m·((n·ℏ)/(m·r))^2·r = 4 pi epsilon · (n^2·ℏ^2)/(m·r)`

`r = 4 pi epsilon · (n^2·ℏ^2)/(m · Z · e^2)`

`1/r = 1/(4 pi epsilon) · (m · Z · e^2)/(n^2·ℏ^2)`

`v=(n·ℏ)/(m·r) = (n·ℏ)/m · 1/(4 pi epsilon) · (m · Z · e^2)/(n^2·ℏ^2)`

`v = 1/(4 pi epsilon) · (Z · e^2)/(n·ℏ)`

Radi de les órbites possibles en funció d'n:

`r = 4 pi epsilon · (n^2·ℏ)/(m·Z·e^2)`

Velocitat de les órbites possibles en funció d'n:

`v = 1/(4 pi epsilon) · (Z·e^2)/(n·ℏ)`

Energia (Energia cinètica + Energia Potencial):

`E=K+V`

`V=-\int_r ^\infty (Ze^2)/(4 pi epsilon r^2) dr = -(Ze^2)/(4 pi epsilon r)`

`K = 1/2 mv^2 = 1/2·1/(4 pi epsilon)· (Ze^2)/r = (Ze^2)/(8 pi epsilon r)`

`E = (Ze^2)/(8 pi epsilon r)-(Ze^2)/(4 pi epsilon r) = -(Ze^2)/(8 pi epsilon r)`

`E = -(Ze^2)/(8 pi epsilon r) = -(Ze^2)/(8 pi epsilon )·1/r = -(Ze^2)/(8 pi epsilon )·1/(4 pi epsilon) · (mZe^2)/(n^2 · ℏ^2) = - (mZ^2e^4)/((4 pi epsilon)^2 2ℏ^2) · 1/n^2`

`n=1,2,3,...`

---

Exemple: Càlcul del color (longitud d'ona) del primer nivell de l'espectre de la sèrie de Balmer. Del 3r al 2n.

`C = e^2/(4 pi epsilon ℏ) = e^2/(4 pi epsilon h/(2 pi)) = e^2/(2 epsilon h) =`

`(−1.602 176 565·10^(−19))^2/(2 · 8'8541878176 · 10^-12 · 6'62607015 · 10^-34) = 2.18769107 · 10^6\ m/s`

`E = - (mZ^2e^4)/((4 pi epsilon)^2 2ℏ^2) · 1/n^2 = - (m Z^2 C^2)/2·1/n^2`

En el cas de l'àtom d'Hidrògen `Z = 1`

`E = - (m·C^2)/2·1/n^2 = -(9.10938291×10^(−31) · (2.18769107 · 10^6)^2)/2·1/n^2 =`

`-2.17987178 · 10^-18 · 1/n^2\ J`

Per trobar les diferències d'energies entre nivells:

`-2.17987178 · 10^-18 · (1/n_1^2-1/n_2^2)\ J`

On `n_1` és el nivell inicial de l'electró i `n_2` el nivell final.

Per exemple si `n_1 = 3` i `n_2 = 2`

`-2.17987178 · 10^-18 · (1/3^2-1/2^2) = 3.02759969·10^(-19)\ J`

Per saber a quina longitud d'ona és això fem servir:

`E = (hc)/lambda => lambda = (hc)/E`

`E = (6'62607015 · 10^(-34) · 299792458)/(3.02759969·10^(-19)) =`

`(1.986444586 · 10^(-25))/(3.02759969·10^(-19)) =6.56112452·10^(-7) = 656.11\ nm`

Qué és la 1a línia visible de la sèrie de Balmer de l'espectre de l'àtom d'Hidrògen que es troba al vermell.